Sfäriska koordinater - sv.LinkFang.org

Sfäriska koordinater


Sfäriska koordinater används i en form av tredimensionella koordinatsystem för att bestämma en punkts position med ett avstånd och två vinklar. Koordinaterna betecknas vanligen med r, φ och θ där

Omvandlingen från kartesiska till sfäriska koordinater sker genom

\({\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\)
\({\displaystyle \varphi ={\mbox{arccos}}\,{\frac {z}{r}}}\)
\({\displaystyle \theta ={\mbox{arctan}}\,{\frac {y}{x}}}\)

och omvandlingen från sfäriska koordinater till kartesiska görs enligt

\({\displaystyle x=r\,\sin \varphi \,\cos \theta }\)
\({\displaystyle y=r\,\sin \varphi \,\sin \theta }\)
\({\displaystyle z=r\,\cos \varphi }\)

Inom fysiken är beteckningarna ofta de motsatta, så att θ är kolatitud och φ longitud.

Innehåll

Tillämpningar


Sfäriska koordinater används inom astronomi, rymdfart, geografi, navigation och andra vetenskaper och områden som innefattar positions- och riktningsbestämningar på jorden, i solsystemet eller i universum. Härvid används exempelvis ekvatoriella koordinater (med ekvatorsplanet som basplan), ekliptiska koordinater (med ekliptikan som basplan) och horisontella koordinater (med horisontalplanet som basplan). Dessa system använder elevation (vinkeln mot basplanet, det vill säga 90°-φ) i stället för polvinkel/kolatitud. Elevationen kallas även latitud (dock ej geodetisk latitud, vilken är lodlinjens vinkel mot ekvatorialplanet), deklination eller altitud, medan θ kallas longitud, rektascension, timvinkel eller azimut. För elevationen, ε, gäller:

\({\displaystyle \varepsilon ={\mbox{arcsin}}\,{\frac {z}{r}}}\)

och

\({\displaystyle x=r\,\cos \varepsilon \,\cos \theta }\)
\({\displaystyle y=r\,\cos \varepsilon \,\sin \theta }\)
\({\displaystyle z=r\,\sin \varepsilon }\)


Tredimensionell modellering av högtalare används för att förutsäga högtalarnas beteenden. Ett antal sfäriska grafer över ett stort frekvensområde behövs då strålningsegenskaperna är starkt beroende av frekvensen. Sfäriska grafer visar åskådligt hur en högtalare tenderar att bli rundstrålande vid låga frekvenser.

Sfäriska koordinatsystem är också vanliga för utveckling av 3D-spel, till exempel för att rotera "kameran" kring spelarens position.

Generaliserade sfäriska koordinater


Sfäriska koordinater kan generaliseras till n dimensioner:

\({\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\phi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\\&{}\,\,\,\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\\x_{n}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\end{aligned}}}\)

Vinklarna kan beräknas från

\({\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\phi _{n-1})&={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}\\\tan(\phi _{n-2})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\tan(\phi _{1})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}\end{aligned}}}\)

Genom omnumrering erhålls ett rekursivt schema för koordinaterna:

\({\displaystyle {\begin{aligned}x_{n}&=r\cos(\phi _{n-1})\\x_{n-1}&=r\sin(\phi _{n-1})\cos(\phi _{n-2})\\x_{n-2}&=r\sin(\phi _{n-1})\sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-3})\\&{}\,\,\,\vdots \\x_{2}&=r\sin(\phi _{n-1})\cdots \sin(\phi _{2})\cos(\phi _{1})\\x_{1}&=r\sin(\phi _{n-1})\cdots \sin(\phi _{2})\sin(\phi _{1})\end{aligned}}}\)

Vinklarna kan då beräknas genom

\({\displaystyle ||{\vec {L}}_{k}||=\operatorname {sgn}(x_{k}){\sqrt {x_{k}^{2}+||{\vec {L}}_{k-1}||^{2}}}={\frac {x_{k}}{||x_{k}||}}{\sqrt {x_{k}^{2}+||{\vec {L}}_{k-1}||^{2}}}}\)

och med \({\displaystyle ||{\vec {L}}_{0}||=0}\) erhålls

\({\displaystyle \tan(\phi _{k})={\frac {\sqrt {x_{k}^{2}+||{\vec {L}}_{k-1}||^{2}}}{x_{k+1}}}={\frac {||{\vec {L}}_{k}||}{x_{k+1}}}}\)

och där längdkoordinaten är

\({\displaystyle r=||{\vec {L}}_{n}||}\)

Exempel

För n = 3 och med de gemensamma koordinataxlarna x, y, z gäller

\({\displaystyle {\begin{aligned}x_{3}&=z=r\cos(\phi _{2})\\x_{2}&=x=r\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{1})\\x_{1}&=y=r\sin(\phi _{2})\sin(\phi _{1})\\\end{aligned}}}\)

För vinklarna gäller då

\({\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\phi _{2})={\frac {||{\vec {L}}_{2}||}{x_{3}}}&={\frac {\sqrt {x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}}{x_{3}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\\\tan(\phi _{1})={\frac {||{\vec {L}}_{1}||}{x_{2}}}&={\frac {\sqrt {x_{1}^{2}}}{x_{2}}}={\frac {y}{x}}\end{aligned}}}\)

Externa länkar











Kategorier: Koordinatsystem




Information från: 19.12.2020 09:20:30 CET

Källa: Wikipedia (Författarna [Historik])    Licens: CC-by-sa-3.0

Förändringar: Alla bilder och de flesta designelement som är relaterade till dessa togs bort. Vissa ikoner ersattes av FontAwesome-Icons. Vissa mallar togs bort (som "artikeln behöver utvidgas) eller tilldelades (som" hatnotes "). CSS-klasser togs bort eller harmoniserades.
Wikipedia-specifika länkar som inte leder till en artikel eller kategori (som "Rödlänkar", "länkar till redigeringssidan", "länkar till portaler") togs bort. Varje extern länk har en extra FontAwesome-ikon. Förutom några små förändringar av design, media-container, kartor, navigationsboxar, talade versioner och Geo-mikroformat togs bort.

Angelägen: Eftersom det givna innehållet automatiskt tas från Wikipedia vid den angivna tidpunkten, och var en manuell verifiering inte möjlig. Därför garanterar inte LinkFang.org riktigheten och verkligheten hos det förvärvade innehållet. Om det finns en information som är fel just nu eller har en felaktig visning, var du välkommen att kontakta oss: e-post.
Se även: Redaktionsrutan & Integritetspolicy.