Polära koordinater - sv.LinkFang.org

Polära koordinater


Polära koordinater används i en form av tvådimensionellt koordinatsystem där en punkt identifieras av ett avstånd från en fix punkt samt av en vinkel. De används ofta inom matematisk analys, främst inom flervariabelanalys och differentialkakyl.

Avståndskoordinaten är punktens avstånd r från origo och vinkelkoordinaten är vinkeln mellan x-axeln och linjen genom origo och punkten.[1]

Cirkulära koordinater är ett annat namn för polära koordinater.

Innehåll

Samband med kartesiska koordinater


Transformering från polära koordinater till kartesiska koordinater sker genom [2]

\({\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \end{cases}}}\)

och för transformering från kartesiska koordinater till polära kan

\({\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta =\arctan {\cfrac {y}{x}}\quad x\neq 0\end{cases}}}\)

användas. Funktionen arctan(y/x) fungerar korrekt endast för första och fjärde kvadranten, varför vissa programbibliotek har funktionen atan2(y, x) vilken ger värden för samtliga kvadranter enligt

\({\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &x<0{\mbox{, }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &x<0{\mbox{, }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&x=0{\mbox{, }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&x=0{\mbox{, }}y<0\\{\text{odefinierad}}&x=0{\mbox{, }}y=0\end{cases}}}\)

Exempel på kurvor beskrivna med polära koordinater


n-dimensionella polära koordinater


Ett polärt koordinatsystems av n-1 dimensioner kan utökas till n dimensioner genom att en axel läggs till mot vilken svarar en ny vinkelkoordinat \({\displaystyle \vartheta _{n-2}\in [0,\pi ]}\).

I ett rätvinkligt koordinatsystem kan schemat för omvandling till rektangulära koordinater i det n-dimensionella fallet skrivas som

\({\displaystyle {\begin{array}{lcr}x_{1}&=&r\ \cos \varphi \ \sin \vartheta _{1}\ \sin \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{2}&=&r\ \sin \varphi \ \sin \vartheta _{1}\ \sin \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{3}&=&r\ \cos \vartheta _{1}\ \sin \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{4}&=&r\ \cos \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \qquad \qquad \qquad \quad \\x_{n-1}&=&r\ \cos \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{n}&=&r\ \cos \vartheta _{n-2}\end{array}}}\)

Referenser


Noter

  1. ^ Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason. red. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5 
  2. ^ ”Polar Coordinates and Graphing” (PDF). 13 april 2006. http://campuses.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2012%5Cteacher_20120507_1147.pdf. Läst 22 september 2006. [död länk]

Externa länkar











Kategorier: Koordinatsystem




Information från: 19.12.2020 09:20:29 CET

Källa: Wikipedia (Författarna [Historik])    Licens: CC-by-sa-3.0

Förändringar: Alla bilder och de flesta designelement som är relaterade till dessa togs bort. Vissa ikoner ersattes av FontAwesome-Icons. Vissa mallar togs bort (som "artikeln behöver utvidgas) eller tilldelades (som" hatnotes "). CSS-klasser togs bort eller harmoniserades.
Wikipedia-specifika länkar som inte leder till en artikel eller kategori (som "Rödlänkar", "länkar till redigeringssidan", "länkar till portaler") togs bort. Varje extern länk har en extra FontAwesome-ikon. Förutom några små förändringar av design, media-container, kartor, navigationsboxar, talade versioner och Geo-mikroformat togs bort.

Angelägen: Eftersom det givna innehållet automatiskt tas från Wikipedia vid den angivna tidpunkten, och var en manuell verifiering inte möjlig. Därför garanterar inte LinkFang.org riktigheten och verkligheten hos det förvärvade innehållet. Om det finns en information som är fel just nu eller har en felaktig visning, var du välkommen att kontakta oss: e-post.
Se även: Redaktionsrutan & Integritetspolicy.