Polära koordinater

---

Polära koordinater används i en form av tvådimensionellt koordinatsystem där en punkt identifieras av ett avstånd från en fix punkt samt av en vinkel. De används ofta inom matematisk analys, främst inom flervariabelanalys och differentialkakyl.

Avståndskoordinaten är punktens avstånd r från origo och vinkelkoordinaten är vinkeln mellan x-axeln och linjen genom origo och punkten.^[1]

Cirkulära koordinater är ett annat namn för polära koordinater.

Innehåll

• 1 Samband med kartesiska koordinater
• 2 Exempel på kurvor beskrivna med polära koordinater
• 3 n-dimensionella polära koordinater
• 4 Referenser
  • 4.1 Noter
• 5 Externa länkar

Samband med kartesiska koordinater

---

Transformering från polära koordinater till kartesiska koordinater sker genom ^[2]

\({\displaystyle {\begin{cases}x=r\cos \theta \\y=r\sin \theta \end{cases}}}\)

och för transformering från kartesiska koordinater till polära kan

\({\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta =\arctan {\cfrac {y}{x}}\quad x\neq 0\end{cases}}}\)

användas. Funktionen arctan(y/x) fungerar korrekt endast för första och fjärde kvadranten, varför vissa programbibliotek har funktionen atan2(y, x) vilken ger värden för samtliga kvadranter enligt

\({\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&x>0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &x<0{\mbox{, }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &x<0{\mbox{, }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}&x=0{\mbox{, }}y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&x=0{\mbox{, }}y<0\\{\text{odefinierad}}&x=0{\mbox{, }}y=0\end{cases}}}\)

Exempel på kurvor beskrivna med polära koordinater

---

n-dimensionella polära koordinater

---

Ett polärt koordinatsystems av n-1 dimensioner kan utökas till n dimensioner genom att en axel läggs till mot vilken svarar en ny vinkelkoordinat \({\displaystyle \vartheta _{n-2}\in [0,\pi ]}\).

I ett rätvinkligt koordinatsystem kan schemat för omvandling till rektangulära koordinater i det n-dimensionella fallet skrivas som

\({\displaystyle {\begin{array}{lcr}x_{1}&=&r\ \cos \varphi \ \sin \vartheta _{1}\ \sin \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{2}&=&r\ \sin \varphi \ \sin \vartheta _{1}\ \sin \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{3}&=&r\ \cos \vartheta _{1}\ \sin \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{4}&=&r\ \cos \vartheta _{2}\ \cdots \ \sin \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots \qquad \qquad \qquad \quad \\x_{n-1}&=&r\ \cos \vartheta _{n-3}\ \sin \vartheta _{n-2}\\x_{n}&=&r\ \cos \vartheta _{n-2}\end{array}}}\)

Referenser

---

Noter

1. ^ Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason. red. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5 
2. ^ ”Polar Coordinates and Graphing” (PDF). 13 april 2006. http://campuses.fortbendisd.com/campuses/documents/Teacher/2012%5Cteacher_20120507_1147.pdf. Läst 22 september 2006. ^{[död länk]}

Externa länkar

---

• Wikimedia Commons har media som rör Polära koordinater.
  Bilder & media

---

---