Inom geometri betecknar barycentriska koordinater (från grekiska βαρύς, barys, "tung" och κέντρον, kentron, "centrum") en uppsättning av n+1 tal, vilka anger en punkts läge i förhållande till en n-dimensionell simplex (sträcka, triangel, tetraeder, etcetera) i det n-dimensionella rummet genom att ange relativa vikter som, om de placeras i hörnen på denna simplex, gör punkten till simplexens geometriska tyngdpunkt. I allmänhet avses läget av en punkt i planet i förhållande till en triangel.[1][2] De skall inte förväxlas med begreppet "barycentrum" som används inom astronomi för att ange den gemensamma tyngdpunkten för en uppsättning himlakroppar (även om begreppet är närbesläktat). Barycentriska koordinater infördes av August Ferdinand Möbius 1827 i Der Barycentrische Calcul.[3]
Barycentriska koordinater skrivs vanligtvis separerade av kolon (exempelvis \({\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }\) för en punkt i planet i förhållande till en triangel i samma plan).
Om alla koordinaterna är större än noll ligger punkten innanför simplexens begränsningar och är en eller flera koordinater noll ligger punkten på begränsningarna. Alla koordinater kan inte vara noll. Är någon koordinat negativ ligger punkten utanför simplexen (det motsvarar att en "negativ vikt", eller en "lyftkraft", måste placeras i hörnet). Någon koordinat måste ha ett positivt värde.
De barycentriska koordinaterna är relativa, vilket innebär att endast deras inbördes förhållanden spelar roll: \({\displaystyle \scriptstyle 2:1:0}\) är detsamma som \({\displaystyle \scriptstyle 4:2:0}\) eller \({\displaystyle \scriptstyle 100:50:0}\).
Med absoluta barycentriska koordinater menas att koordinaterna normerats så att deras summa blir lika med ett. För att normera koordinaterna delar man dem med deras summa. Exempelvis om koordinaterna \({\displaystyle \scriptstyle 2:1:0}\) divideras med summan av dem (\({\displaystyle \scriptstyle 2+1+0=3}\)) får vi de absoluta barycentriska koordinaterna \({\displaystyle \scriptstyle {\frac {2}{3}}:{\frac {1}{3}}:0}\).[4]
Inom astronomi används termen barycentriskt koordinatsystem för att ange ett koordinatsystem (sfäriskt eller kartesiskt) med origo i systemets tyngdpunkt (exempelvis solsystemets tyngdpunkt).
Endimensionella barycentriska koordinater beskriver läget av en punkt på en linje i förhållande till en given sträcka på linjen. Låt oss kalla sträckans ändpunkter för \({\displaystyle A}\) och \({\displaystyle B}\) som i figur 1. De barycentriska koordinaterna anger då hur mycket massa vi skall placera i (eller hur mycket kraft vi skall applicera på) \({\displaystyle A}\) respektive \({\displaystyle B}\) för att tyngdpunkten skall befinna sig i \({\displaystyle P}\) relativt sett. Placerar vi all massa i \({\displaystyle A}\) ligger tyngdpunkten i \({\displaystyle A}\) och \({\displaystyle P}\) ligger alltså i \({\displaystyle A}\) och har, exempelvis, koordinaterna \({\displaystyle 1:0}\) (och motsvarande för \({\displaystyle B}\) såklart). För att ange de barycentriska koordinaterna för \({\displaystyle P}\) skall vi alltså beräkna två krafter applicerade i \({\displaystyle A}\) respektive \({\displaystyle B}\) (vilket ger oss koordinaterna \({\displaystyle F_{A}:F_{B}}\)) som ger ett motverkande vridmoment i förhållande till \({\displaystyle P}\), det vill säga att \({\displaystyle F_{A}\cdot {\vec {AP}}=-F_{B}\cdot {\vec {BP}}=F_{B}\cdot {\vec {PB}}}\), vilket ger oss koordinaterna \({\displaystyle F_{A}:F_{A}\cdot {\frac {\vec {AP}}{\vec {PB}}}}\). Eftersom endast koordinaternas relativa värden är av intresse kan vi multiplicera dem med \({\displaystyle {\frac {\vec {PB}}{F_{A}}}}\), vilket ger oss de likvärdiga koordinaterna \({\displaystyle {\vec {PB}}:{\vec {AP}}}\). Dessa kan "normeras" genom att dividera dem med \({\displaystyle {\vec {AP}}+{\vec {PB}}={\vec {AB}}}\) varvid deras summa blir lika med ett. Vi ser att respektive koordinat är proportionell mot det "riktade" avståndet från den andra ändpunkten. I det fall man anger de fakiska avstånden \({\displaystyle {\vec {PB}}:{\vec {AP}}}\) talar man om de homogena barycentriska koordinaterna med avseende på sträcka \({\displaystyle {\overline {AB}}}\).[5]
Tvådimensionella barycentriska koordinater beskriver läget av en punkt \({\displaystyle P}\) i planet i förhållande till en triangel \({\displaystyle \triangle ABC}\) i samma plan (se figur 2). Genom att placera tre "vikter" i de tre triangelhörnen (eller applicera tre krafter på hörnen) skall vi "balansera" triangeln i \({\displaystyle P}\).
Vi börjar med att placera all vikt \({\displaystyle F_{P}}\) i \({\displaystyle P}\). Därefter balanserar vi vikten längs linjen \({\displaystyle {\overline {AL}}}\) (i enlighet med resonemanget för endimensionella koordinater) så att vi placerar \({\displaystyle F_{A}=F_{P}\cdot {\frac {\vec {PL}}{\vec {AL}}}}\) i \({\displaystyle A}\) och \({\displaystyle F_{L}=F_{P}\cdot {\frac {\vec {AP}}{\vec {AL}}}}\) i \({\displaystyle L}\), varefter vi balanserar vikten i \({\displaystyle L}\) längs \({\displaystyle {\overline {BC}}}\) genom att flytta \({\displaystyle F_{B}=F_{L}\cdot {\frac {\vec {LC}}{\vec {BC}}}}\) till \({\displaystyle B}\) och \({\displaystyle F_{C}=F_{L}\cdot {\frac {\vec {BL}}{\vec {BC}}}}\) till \({\displaystyle C}\).
Detta innebär att \({\displaystyle L}\) fortfarande är tyngdpunkt på \({\displaystyle {\overline {BC}}}\), vilket innebär att triangeln fortfarande är balanserad i \({\displaystyle P}\) och att all vikt befinner sig fördelad på \({\displaystyle A}\), \({\displaystyle B}\) eller \({\displaystyle C}\).
Vi noterar av det ovanstående att \({\displaystyle {\frac {F_{B}}{F_{C}}}={\frac {\vec {LC}}{\vec {BL}}}}\). På samma sätt kan vi visa att \({\displaystyle {\frac {F_{A}}{F_{B}}}={\frac {\vec {NB}}{\vec {AN}}}}\) och \({\displaystyle {\frac {F_{A}}{F_{C}}}={\frac {\vec {MC}}{\vec {AM}}}}\).[6]
Detta leder till att \({\displaystyle \triangle BPC:\triangle APC:\triangle APB}\) (i det fall arean av en deltriangel ligger helt utanför \({\displaystyle \triangle ABC}\) är dess area negativ.) är barycentiska koordinter för \({\displaystyle P}\), eftersom
\({\displaystyle {\frac {F_{B}}{F_{C}}}={\frac {\vec {LC}}{\vec {BL}}}={\frac {\triangle CLA}{\triangle BLA}}={\frac {\triangle CLP}{\triangle BLP}}={\frac {\triangle CLA-\triangle CLP}{\triangle BLA-\triangle BLP}}={\frac {\triangle APC}{\triangle APB}}}\)
och på samma sätt är \({\displaystyle {\frac {F_{A}}{F_{B}}}={\frac {\triangle BPC}{\triangle APC}}}\) och \({\displaystyle {\frac {F_{A}}{F_{C}}}={\frac {\triangle BPC}{\triangle APB}}}\).
Detta ger oss att
\({\displaystyle F_{A}:F_{B}:F_{C}=F_{A}:F_{A}\cdot {\frac {\triangle APC}{\triangle BPC}}:F_{A}\cdot {\frac {\triangle APB}{\triangle BPC}}=}\)
Dessa kallas de homogena barycentriska koordinaterna relativt triangeln \({\displaystyle \triangle ABC}\).[7][8] Vi kan normera dem genom att dividera var och en av dem med \({\displaystyle \triangle ABC}\) så att deras summa blir lika med ett, vilket ger oss de absoluta barycentriska koordinaterna (vilka även kallas areal coordinates, "areella koordinater", på engelska[9]):
Det tredimensionella fallet: Analogt med det tvådimensionella fallet (i vilket vikterna i triangelhörnen är proportionella mot respektive "motstående deltriangels" area) är vikten i respektive tetraederhörn proportionell mot volymen av dess "motstående deltetraeders" volym.
Fler dimensioner: Ökar vi på antalet dimensioner förfar vi på samma sätt. För fyra dimensioner balanserar vi först mellan ett hörn och skärningspunkten (för linjen genom hörnet och \({\displaystyle G}\)) med den till hörnet motstående tetraedern, varefter vi balanserar denna tetraeders tilldelade vikt på dess fyra hörn enligt ovan. Vi kan fortsätta att öka på med en dimension i taget på samma sätt. Detta innebär att vi för en n-dimensionell simplex \({\displaystyle A_{1}A_{2}A_{3}...A_{n}}\) och en punkt \({\displaystyle G}\) får
I figur 4 visas en triangel \({\displaystyle ABC}\) och en punkt \({\displaystyle P}\) som har de absoluta barycentriska koordinaterna \({\displaystyle \mu _{A}:\mu _{B}:\mu _{C}}\). Vi noterar att, i enlighet med endimensionella koodinater ovan, \({\displaystyle {\vec {AP_{AB}}}=\mu _{B}\cdot {\vec {AB}}}\) och \({\displaystyle {\vec {AP_{AC}}}=\mu _{C}\cdot {\vec {AC}}}\). Därför har vi också att \({\displaystyle {\vec {AP}}={\vec {AP_{AB}}}+{\vec {AP_{AC}}}=\mu _{B}\cdot {\vec {AB}}+\mu _{C}\cdot {\vec {AC}}}\). Om nu triangelhörnen har ortsvektorerna \({\displaystyle {\vec {OA}}}\), \({\displaystyle {\vec {OB}}}\) respektive \({\displaystyle {\vec {OC}}}\) i förhållande till en punkt \({\displaystyle O}\) får vi (i sista ledet utnyttjas att de absoluta koordinaternas summa är ett):
Uttrycket för punktens ortsvektor ger direkt att, om triangelhörnen har de kartesiska koordinaterna \({\displaystyle A=(x_{A},y_{A})}\), \({\displaystyle B=(x_{B},y_{B})}\) respektive \({\displaystyle C=(x_{C},y_{C})}\), så är de kartesiska koordinaterna för \({\displaystyle P}\):
Speciellt märker vi att om triangelhörnen har de kartesiska koordinaterna \({\displaystyle (0,0)}\), \({\displaystyle (1,0)}\) och \({\displaystyle (0,1)}\) så har punkten \({\displaystyle (x,y)}\) de absoluta barycentriska koordinaterna \({\displaystyle 1-x-y:\ x:\ y}\).
Om vi skriver om uttrycken för punktens kartesiska koordinater och utnyttjar att \({\displaystyle \mu _{C}=1-\mu _{A}-\mu _{B}}\) får vi två ekvationer med två obekanta:
vilka har lösningen
Låt \({\displaystyle a}\), \({\displaystyle b}\) och \({\displaystyle c}\) beteckna längden av de motstående sidorna till triangelhörnen. En punkt med de trilinjära koordinaterna \({\displaystyle x:y:z}\) har då de barycentriska koordinaterna \({\displaystyle ax:by:cz}\).[10]
Omvänt har därför en punkt med de barycentriska koordinaterna \({\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }\) de trilinjära koodinaterna \({\displaystyle {\frac {\alpha }{a}}:{\frac {\beta }{b}}:{\frac {\gamma }{c}}}\).
De homogena barycentriska koordinaterna \({\displaystyle \alpha :\beta :\gamma }\) motsvaras av de exakta trilinjära koordinaterna \({\displaystyle a':b':c'={\frac {2\alpha }{a}}:{\frac {2\beta }{b}}:{\frac {2\gamma }{c}}}\).[8]
Triangelns geometriska tyngdpunkt har barycentriska koordinater
Den inskrivna cirkelns medelpunkt har barycentriska koordinater som kan skrivas som
Medelpunkterna för de vidskrivna cirklarna till \({\displaystyle {\overline {BC}}}\), \({\displaystyle {\overline {AC}}}\) och \({\displaystyle {\overline {AB}}}\) har de barycentriska koordinaterna
Den omskrivna cirkelns medelpunkt har barycentriska koordinater som kan skrivas som
Ortocentrum har barycentriska koordinater som kan skrivas som
eller
Det andra uttrycket erhålls genom multiplikation med \({\displaystyle \cos \angle BAC\cos \angle CBA\cos \angle ACB}\)
Symmedianpunkten har de barycentriska koordinaterna
För en funktion av två variabler, \({\displaystyle f(x,y)}\), med de kända värdena \({\displaystyle f_{A}=f(x_{A},y_{A})}\), \({\displaystyle f_{B}=f(x_{B},y_{B})}\) och \({\displaystyle f_{C}=f(x_{C},y_{C})}\) för hörnen i triangeln \({\displaystyle \triangle ABC}\) kan en linjär interpolation av värdet i en punkt \({\displaystyle P=(x_{P},y_{P})}\) med de absoluta barycentriska koordinaterna \({\displaystyle \mu _{A}:\mu _{B}:\mu _{C}}\) göras enligt \({\displaystyle f_{P}=f(x_{P},y_{P})\approx \mu _{A}f_{A}+\mu _{B}f_{B}+\mu _{C}f_{C}}\). Barycentrisk interpolation kan enkelt utsträckas till fler dimenensioner.[11] Genom att skapa ett nät av trianglar (ett så kallat "mesh"), eller simplexar av högre dimension, kan beräkningar göras för större områden (ett exempel är beräkningar av isolinjer eller värden för olika platser i ett nät av väderstationer). Mer förfinade interpolationer kan göras med polynomapproximationer i stället för linjära sådana.[12]
Barycentrisk interpolation och generaliseringar av denna till godtyckliga polygoner och polyedrar används inom flera områden, exempelvis finita elementmetoden (FEM), och speciellt noterbart är applikationer inom datorgrafik för exempelvis skuggning och animation.[13]
, sid. 222. ISBN 9789176172629
", MathWorld. (engelska)
, Verlag von Johann Ambosius Barth, Leipzig.
, Forum Geometricorum, 14, sid. 52.
, sid. 1. Department of Mathematics, Florida Atlantic University.
i "International Journal of Mathematical Education in Science and Technology" 31, sid. 570
", MathWorld. (engelska)
", MathWorld. (engelska)
, sid. 349. ISBN 9781939512116
i "Proceedings of the 1998 conference on Advances in neural information processing systems II ", sid. 1024– 1030, Cambridge, MA, USA, 1999. MIT Press.
i "Numerical analysis and applied mathematcs, AIP Conference Proceedings, 1048", (Simos, T., Psihoyios, G., Tsitouras, C. (Eds.)). International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics. Kos, Grekland, 16 - 20 september 2008", sid. 575-579.
i "Proceedings of the 14th ACM Symposium on Solid and Physical Modeling - SPM '10 ".
Kategorier: Geometri | Koordinatsystem
